等角共轭点

 


几何学中,设点 P 是三角形 ABC 平面上一点,作直线 PA、PB 和 PC 分别关于角 A 、B 和 C 的平分线的反射,这三条反射线必然交于一点,称此点为 P 关于三角形 ABC 的等角共轭。(这个定义只对点,不是对三角形 ABC 的边。)
中文名:
等角共轭点
外文名:
isogonal conjugate points
类型:
数学定义
应用学科:
几何学
所属领域:
数学、几何学
性质:
外接圆一点等角共轭点是无穷远点

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描述

描述一:三角形内一点P,过A做直线L1与AP关于角A的角平分线对称,同样过B,C分别做L2,L3。这三条直线交于P1,则P1是P的等角共轭点;
描述二:设P、Q是三角形ABC内两点,∠PAB=∠QAC,∠PBC=∠QBA,∠PCB=∠QCA,满足题设条件的两点P、Q称为△ABC的等角共轭点。

记号

几何学中,设点P是三角形ABC平面上一点,作直线PAPBPC分别关于角ABC的平分线的反射,这三条反射线必然交于一点,称此点为P关于三角形ABC等角共轭。(这个定义只对点,不是对三角形ABC的边。)
P的等角共轭点经常记作P*,显然P*的等角共轭点即为P

性质

1.重心的等角共轭点到三角形的三边的距离的平方和最小。
2.外接圆上一点的等角共轭点是无穷远点。反过来也成立(摘自约翰逊《近代欧氏几何学》)
3.从两个等角共轭点到各边的垂线的垂足在一个圆上,即等角共轭点有一个公共的垂足圆,圆心是二者连线中点。(摘自约翰逊《近代欧氏几何学》)
4.一点的垂足三角形的边,垂直于原三角形相应顶点与这点的等角共轭市点的连线。(摘自约翰逊《近代欧式几何学》)
5.设P,Q为等角共轭点。则:
∠A2PA3+∠A2QA3=∠A2A1A3.(摘自约翰逊《近代欧氏几何学》)
6.设任一圆交三角形边于P1、Q1、P2、Q2、P3、Q3,则三个点的组P1P2P3与Q1Q2Q3的密克点P与Q即为等角共轭点。(摘自约翰逊《近代欧式几何学》)

应用

内心I的等角共轭点是自身。垂心H的等角共轭点是外心O。重心的等角共轭点是类似重心K
在三线坐标中,如果X=x:y:z是不在三角形ABC边上的一点,那么它的等角共轭是 1/x: 1/y: 1/z。因此,X的等角共轭有时也记作X。三角形内部的点集S在三线乘法
(p:q:r) * (u:v:w) = pu:qv:rw
下构成一个交换群。S中任何一点X的逆是X
因为等角共轭是一个函数,从而我们可以讨论一个点集的等角共轭。譬如,直线的等角共轭是一条外接圆锥曲线;确切的,若直线交外接圆于 0、1或 2 点,其等角共轭分别为椭圆、抛物线或双曲线。外接圆的等角共轭是无穷远直线。一些有名的三次曲线(例如:Thompson 三次曲线、Darboux 三次曲线、Neuberg 三次曲线)是自等角共轭的,即如果 X 位于这些三次曲线上,那么X也在其上。

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