度量线性空间

 


度量线性空间(metric linear space)是一类定义了距离的线性空间。设E是线性空间,又是度量空间,ρ是E上的距离,且E按ρ导出的拓扑成为拓扑线性空间,则称E为度量线性空间、线性度量空间或线性距离空间。
中文名:
度量线性空间
外文名:
metric linear space
领域:
数学
性质:
定义了距离的线性空间
特点:
既是线性空间,又是度量空间
别称:
线性度量空间或线性距离空间

 目录

概念

度量线性空间(metric linear space)是一类定义了距离的线性空间。设E是线性空间,又是度量空间,ρ是E上的距离,且E按ρ导出的拓扑成为拓扑线性空间,则称E为度量线性空间、线性度量空间或线性距离空间。如果对一切x,y∈E,ρ(x-y,0)=ρ(x,y),则称ρ是平移不变距离。如果对一切数λ(|λ|≤1),有ρ(λx,0)≤ρ(x,0),就称ρ是均衡的。设ρ是E上均衡平移不变距离,则p(x)=ρ(x,0)是E上的准范数。完备的度量线性空间必可改赋一个均衡平移不变距离,且按这个距离是完备的,从而是弗雷歇空间。

线性空间

线性空间亦称向量空间。它是线性代数的中心内容和基本概念之一。设V是一个非空集合,P是一个域。若:
1.在V中定义了一种运算,称为加法,即对V中任意两个元素α与β都按某一法则对应于V内惟一确定的一个元素α+β,称为α与β的和。
2.在P与V的元素间定义了一种运算,称为纯量乘法(亦称数量乘法),即对V中任意元素α和P中任意元素k,都按某一法则对应V内惟一确定的一个元素kα,称为k与α的积。
3.加法与纯量乘法满足以下条件:
1) α+β=β+α,对任意α,β∈V.
2) α+(β+γ)=(α+β)+γ,对任意α,β,γ∈V.
3) 存在一个元素0∈V,对一切α∈V有α+0=α,元素0称为V的零元.
4) 对任一α∈V,都存在β∈V使α+β=0,β称为α的负元素,记为-α.
5) 对P中单位元1,有1α=α(α∈V).
6) 对任意k,l∈P,α∈V有(kl)α=k(lα).
7) 对任意k,l∈P,α∈V有(k+l)α=kα+lα.
8) 对任意k∈P,α,β∈V有k(α+β)=kα+kβ,
则称V为域P上的一个线性空间,或向量空间。V中元素称为向量,V的零元称为零向量,P称为线性空间的基域.当P是实数域时,V称为实线性空间。当P是复数域时,V称为复线性空间。例如,若V为三维几何空间中全体向量(有向线段)构成的集合,P为实数域R,则V关于向量加法(即平行四边形法则)和数与向量的乘法构成实数域R上的线性空间。又如,若V为数域P上全体m×n矩阵组成的集合Mmn(P),V的加法与纯量乘法分别为矩阵的加法和数与矩阵的乘法,则Mmn(P)是数域P上的线性空间。V中向量就是m×n矩阵。再如,域P上所有n元向量(a1,a2,…,an)构成的集合P对于加法:(a1,a2,…,an)+(b1,b2,…,bn)=(a1+b1,a2+b2,…,an+bn)与纯量乘法:λ(a1,a2,…,an)=(λa1,λa2,…,λan)构成域P上的线性空间,称为域P上n元向量空间。

度量空间

度量空间亦称距离空间。一种拓扑空间,其上的拓扑由距离决定。设R是一个非空集合,ρ(x,y)是R上的二元函数,满足如下条件:
1.ρ(x,y)≥0且ρ(x,y)=0⇔x=y;
2.ρ(x,y)=ρ(y,x);
3.(三角不等式)ρ(x,y)≤ρ(x,z)+ρ(y,z);
则称ρ(x,y)为两点x,y之间的距离,R按距离ρ成为度量空间或距离空间,记为(R,ρ)。设A是R的子集,则A按R中的距离ρ也成为度量空间,称为R的(度量)子空间。如果把上述距离的条件1改为ρ(x,y)≥0且ρ(x,x)=0,则称ρ为R上的拟距离。当ρ(x,y)=0时,记x~y.~是R上的一个等价关系,记商集(即等价类全体)为D=R/~,在D上作二元函数ρ~:ρ~(x~,y~)=ρ(x,y)(x∈x~,y∈y~),则ρ~是D上的距离,而(D,ρ~)称为R按拟距离ρ导出的商(度量)空间。
度量空间(R,ρ)中的子集A称为有界的,如果对x0∈R,存在常数M,使ρ(x0,x)≤M对A中的一切x成立。设x0∈R,r>0,则称集合{x|x∈R,ρ(x,x0)<r}为以x0为中心,r为半径的开球,或x0的r邻域,记为O(x0,r)。又设A⊂R,若对任何x∈A,存在x的某个邻域O(x,r)⊂A,则A称为开集;而称开集的补集为闭集。R中包含子集A的最小闭集就称为A的闭包。
度量空间是弗雷歇(Fréchet,M.-R.)于1906年引进的,它是现代数学中的一种基本而重要并且非常接近于欧几里得空间的抽象空间,也是泛函分析的基础之一。

拓扑线性空间

拓扑线性空间是泛函分析的重要分支,又称之为拓扑向量空间,它是具有拓扑结构的线性空间,是赋范线性空间概念的推广。
20世纪初,法国数学家弗雷歇在引入距离空间,并用距离概念来统一过去分析学中的许多重要收敛时,就知道[a,b]上一列函数的“点点收敛”概念是不能用距离收敛来描述的。20世纪30年代以来,泛函分析中大量应用弱收敛、弱拓扑,它们都不能用距离来描述。这就很自然地把赋范线性空间理论发展成更一般的拓扑线性空间理论,其中最主要的成就是局部凸拓扑线性空间理论。这一分支的发展是与一般拓扑学的发展紧密联系在一起的。拓扑学方法在这里发挥了极其重要的作用,法国数学家勒雷和波兰数学家绍德尔所推广的不动点定理就是有力的例证之一。1935年以后,经过十多年的努力,这一分支终于形成,它的许多结果不仅在泛函分析中有着广泛的应用,而且为其他分析学科的深入研究提供了基本框架和有力的工具。