希尔伯特转换

 


在数学和信号处理中,希尔伯特变换(Hilbert transform)是一个对函数产生定义域相同的函数的线性算子。
中文名:
希尔伯特转换
外文名:
Hilbert transform
领域:
数学与信号处理
命名人物:
大卫·希尔伯特

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概述

在数学和信号处理中,希尔伯特变换Hilberttransform)是一个对函数u(t)产生定义域相同的函数H(u)(t)的线性算子。
希尔伯特变换在信号处理中很重要,能够导出信号u(t)的解析表示。这就意味着将实信号u(t)拓展到复平面,使其满足柯西-黎曼方程。例如,希尔伯特变换引出了傅里叶分析中给定函数的调和共轭,也就是调和分析。等价地说,它是奇异积分算子与傅里叶乘子的一个例子。
希尔伯特变换最初只对周期函数(也就是圆上的函数)有定义,在这种情况下它就是与希尔伯特核的卷积。然而更常见的情况下,对于定义在实直线R(上半平面的边界)上的函数,希尔伯特变换是指与柯西核卷积。希尔伯特变换与帕利-维纳定理有着密切的联系,帕利-维纳定理是将上半平面内的全纯函数与实直线上的函数的傅里叶变换相联系起来的另一种结果。
希尔伯特变换是以大卫·希尔伯特来命名的,他首先引入了该算子来解决全纯函数的黎曼–希尔伯特问题的一个特殊情况。

历史

希尔伯特变换产生于希尔伯特1905年关于黎曼有关分析函数的问题,后来被称为黎曼-希尔伯特(Riemann-Hilbert)问题。希尔伯特的工作主要是关于圆上定义函数的希尔伯特变换。他早些时候与离散希尔伯特变换有关的工作可以追溯到他在哥廷根给的讲座。结果后来由HermannWeyl在他的博士论文中发表。舒尔对希尔伯特关于离散希尔伯特变换的结果进行了改进,并将它们扩展到整数情况。在1928年,马塞尔·里斯斯证明,希尔伯特变换可以被定义uLP(R)(1≤p<∞),即希尔伯特变换是有界运算符上LP(R)(1≤p<∞),和对于圆上的希尔伯特变换以及离散希尔伯特变换(Riesz1928),也有类似的结果。希尔伯特变换是一个激励的例子安东尼Zygmund和阿尔贝托·卡尔德龙在他们的奇异积分研究。他们的调查在现代谐波分析中发挥了重要作用。希尔伯特变换的各种推广,如双线性和三线性希尔伯特变换,仍然是当今研究的活跃领域。

定义

u的希尔伯特变换可以认为是u(t)与函数h(t)=1/(πt)的卷积。由于h(t)是不可积的,定义卷积的积分不收敛。因而希尔伯特变换是使用柯西主值(这里记为p。v。)定义的。准确说来,函数(或信号)u(t)的希尔伯特变换是:
假设此积分作为主值存在。这就是u与缓增分布p。v。1/πt的卷积。另外,通过改变变量,主值积分可以显式地写为:
若希尔伯特变换接连用在函数u上两次,结果就是负u
假设定义两次迭代的积分都收敛。特别地,逆变换是−H。可以通过考虑u(t)的傅里叶变换的希尔伯特变换效应看出这一事实(参见下面的与傅里叶变换的关系)。
对上半平面的解析函数,希尔伯特变换描述了边界值的实部与虚部之间的关系。也就是说,如果f(z)是在Imz>0平面内的解析函数,而u(t)=Ref(t+0·i),假设希尔伯特变换存在,则Imf(t+0·i)=H(u)(t)取决于一个相加性常数。

特性

边界

若1<p<∞,则L(R)之希尔伯特变换为一有界算子,表示存在一常数Cp使得
对所有uL(R)。这个定理由Riesz(1928)所推得。最佳常数Cp可由下列算式得到:
这个结果由(Pichorides1972)所推得。上述最佳常数计算方式应用在周期性希尔伯特变换一样成立。
希尔伯特变换的边界指的是L(R)对称级数运算子对于在L(R)之中f的收敛

反自伴性

希尔伯特变换为一反自伴算子,连结L(R)与其对偶空间L(R),其中pq为赫尔德共轭且1<pq<∞。以符号表示
uL(R)且vL(R)(Titchmarsh 1948)。

逆变换

希尔伯特变换为一反-对合(Titchmarsh 1948),意即
假定每一变换皆完整定义过。由于H保存了L(R)空间,这特别代表希尔伯特变换在L(R)上是不可逆的,且

微分

正式上,一个式子其希尔伯特变换的微分即为其微分的希尔伯特变换,意即这两者是可以交换的线性算子
此一特性亦可迭代
给定u以及其前k次微分皆属于L(R)(Pandey 1996)空间,此项论述为严格成立。在频域上可以轻易验证这件事情,由于微分在频域上即为与ω之乘积。

卷积

希尔伯特变换可表示为与一缓增分布之卷积(Duistermaat&Kolk 2010)
因此可如此表示
然而,事前此特性可能只有对紧支撑之分布u定义。由于紧支撑函数在L上是稠密的,因此此项特性可能严格成立。另一角度来看,也可使用h(t)其微分之特性来证明
在大部分的用途,希尔伯特变换可被视为是一卷积。举例而言,卷积与希尔伯特变换具备下列可交换的特性

不变性

希尔伯特变换在空间L(R)上有下列特性
可与算子Taƒ(x)=ƒ(x+a)交换,对所有实数a
实际上,有更大一部分的算子可与希尔伯特变换交换。群组SL(2,R)由幺正算符Ug可在空间L(R)上由以下式子表示

频率响应

希尔伯特变换之频率响应由傅里叶变换给出:
其中
i(有时写作j)是虚数单位,
即为符号函数。
既然:
希尔伯特变换会将负频率成分偏移+90°,而正频率成分偏移−90°。

反(逆)希尔伯特变换

我们也注意到:。因此将上面方程式乘上,可得到:
从中,可以看出反(逆)希尔伯特变换

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