循环群是一种很重要的群,也是已被完全解决了的一类群。其定义为若一个群G的每一个元都是G的某一个固定元a的乘方,则称G为循环群,记作G=(a),a称为G的一个生成元。循环群有无阶循环群和有阶循环群两种类型。
中文名:
循环群
外文名:
cyclic group
类型:
无阶循环群、有阶循环群

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定义

若一个群G的每一个元都是G的某一个固定元a的乘方,则称G为循环群,记作G=(a)={am |m∈Z},a称为G的一个生成元。
特别地,如果G的代数运算采用加号表示时,则有 (a)={ma | m∈Z}

性质

定理1
设(a)是一个循环群,
(1)若|a|=∞,则(a)与整数加群Z同构;
(2)若IaI=n,则(a)与模n的剩余类加群Zn同构。
(1)|a|=∞,则当m≠n时,
am≠an,(a)={…,a-2,a-1,e,a1,a2,…}.
于是令 φ:(a)→Z,am→m可以证明这是循环群(a)到整数加群Z的一个双射,且
φ(am·an)=φ(am+n)=m+n=φ(am)+φ(an),
故φ是(a)到Z的一个同构映射,所以(a)≌Z.
(2)设IaI=n,则(a)={e,a,a2,…,an-1}
令 σ:(a)→Zn,am→[m].
若有m,m′∈Z,m′>m使得am=am',则am'-m=e,而an=e,所以n | m'-m,即m'=m(mod n),因此[m′]=[m],故σ是(a)到Zn的一个映射.
又∀[0]≤[k]≤[n-1],有ak∈(a),使得[k]=σ(ak),且若am≠am′,则σ(am)≠σ(am′),同时∀am、am′∈(a),
σ(am·am')=σ(am+m')
=[m+m′]=[m]+[m′]
=σ(am)+σ(am′),
所以σ是(a)到Zn的一个同构映射,即(a)≌Zn。
由于群之间的同构关系具有反身性、对称性和传递性,故这个定理告诉我们,凡无限循环群都彼此同构,凡有限同阶循环群都彼此同构,而不同阶的群,由于不能建立双射,当然不能同构。这样抽象地看,即在同构意义下,循环群只有两种,即整数加群和模n的剩余类加群.
定理2
有且仅有两个元1和-1可以作为整数加群Z的生成元,且在Z中除零元外,每个元的阶都是无限的.
已证1和-1可以作为整数加群Z的生成元,如果另有k是生成元,则(k)=(1)=Z,这时由1∈(k)={km,m∈Z},即存在m∈Z,使1=km,于是k=m=±1,所以只有两个元1与-1可以作为整数加群Z的生成元。
若k∈Z,k≠0,则∀m,n∈Z,m≠n,有mk≠nk,所以IkI=∞
说明,有且仅有两个元a与a-1可以作为无限循环群(a)的生成元,在无限循环群(a)中除单位元的阶是1以外,其余元的阶都是无限的.
定理3
在模n的剩余类Zn中,有
(1)|[k]|=n/(k,n)
(2)[k]是Zn的生成元<=>(k,n)=1.
(1)由定理可得.
(2)若[k]∈Zn,则([k])⊆Zn,由(1)与(k,n)=1知|[k]|=n,所以|([k])|=n,Zn=([k])
反之,设[k]是Zn的生成元,有([k])=Zn,所以|([k])|=n,由(1)知(k,n)=1.
此定理说明|(a)| =n时,(ak)=(a)<=>(k,n)=1。

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